И.Б.Турксен

 

О ВКЛАДЕ ЛОТФИ ЗАДЕ В СОВРЕМЕННУЮ НАУКУ И НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ*

 

Введение

 

Вклад Л.А.Заде в современную науку велик и отражен прежде всего в его главных новаторских статьях: «Нечеткие множества» (1965) [1], «Меры вероятности нечетких событий» (1968) [2], «Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений» (1973) [3], «Нечеткие множества как основа теории возможности» (1978)[4], «Теория приближенных рассуждений» (1979) [5] и др. С одной стороны, эти основополагающие статьи по нечетким множествам и нечеткой логике привели к сдвигу научных парадигм во многих областях. Они оказали заметное влияние на развитие математики, естественных и инженерных наук. Указанные статьи привели ко многим научным и инженерным открытиям, в частности, к разработке такого важного направления, как моделирование нейро-нечетких систем, и появлению новых решений в области электроники.

С другой стороны, оригинальные идеи и модели, введенные в его знаменитых работах: «Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений» (1975-1976) [6,7], «Роль нечеткой логики в управлении неопределенностью в экспертных системах» (1983) [8], «Силлогизмы в нечеткой логике и их применение к обыденным рассуждениям и рассуждениям с диспозициями» (1985) [9], «Вычисления со словами» (1996-2001) [10-12], выражают новые подходы к сложным гуманистическим системам, открывая возможности их анализа и решения задач в терминах «рассуждений, похожих на рассуждения здравого смысла у человека».

По моему мнению, важнейший тезис Л.Заде состоит в том, что в гуманистических системах рассуждения и принятие решений основаны не столько на измерениях (хотя они, конечно, являются существенным компонентом), сколько на лингвистических или перцептивных оценках.

Для того, чтобы понять глубинный смысл нечетких теорий, обратимся к этимологическим корням слова «fuzzy» (нечеткий). Так Р.Ходж утверждает, что «нечеткая логика родилась на основе тонкого восприятия Л.Заде различных логик, присущих человеческим языкам…, его интереса к исследованиям силы и слабости естественных языков в научном мышлении» [13]. Л.Заде использует слово «fuzzy» применительно к категориям языка или мышления, а не к природе естественных (физических, механических) явлений. Такое использование термина «fuzzy» «служит подтверждением одаренности Л.Заде в области языкознания, включая индоевропейские (русский и иранский) и тюркские (азербайджанский) языки».

Далее Р.Ходж пишет, что термин «fuzzy» происходит от слова «fusus», которое отсылает нас к действию огня и воды, к микроскопическим частицам, а также к жидкости, т.е. к миру с неустойчивыми очертаниями,

Первоначально, Л.Заде пользовался словом «fuzzy» применительно к категориям языка и мышления, но не для описания природы явлений. Однако, недавно им была разработана типология границ (граничных или краевых условий протекания явлений) в терминах описывающих их категорий. Типология границ в терминах категорий была введена в работе «На пути к теории информационной грануляции» (1997) [11]. Например, дается описание того, как люди воспринимают и идентифицируют такие вещи, как нос, щеки и прочие части человеческого лица.

Хорошо различимые границы могут быть описаны нечеткими функциями принадлежности Это – основа теории нечетких множеств типа 1. Однако, когда границы плохо различимы, например, выражены некоторыми зонами, их можно выразить нечеткими множествами типа 2 и выше. Так у нечетких множеств типа 2 отдельные значения принадлежности задаются функциями принадлежности, т.е. учитывается неточность определения принадлежности. Они могут выражать лингвистическую неопределенность, связанную с различными оттенками смысла слов. В реальном общении людей слова имеют неточные значения, порой интерпретируемые как двусмысленность размытость, и пр. Это справедливо даже в случае одного заданного контекста, например, процессов принятия решений или описания природных явлений.

В частности, нечеткими множествами типа 2 и выше можно выражать величины рисков, связанных с принятием управленческих решений (модели исследования операций и менеджмента)

[14-15].

 

Научное наследие Л.Заде

 

Сформулируем более подробно, в чем состоит научное и мировоззренческое наследие Л.Заде.

В своей основополагающей статье «Нечеткие множества» (1965) [1] Л.Заде ввел представление о нечетком множестве как «континууме степеней принадлежности», определил базовые отношения и операции над нечеткими множествами (равенство, вложенность, дополнение, объединение, пересечение), а также понятия выпуклой комбинации нечетких множеств, нечетких множеств, индуцируемых отображениями, сепарабельности выпуклых нечетких множеств. При этом операции объединения и пересечения были введены как в (Max-Min)-базисе, так и в форме алгебраической суммы и произведения.

Вместе с этими вводными понятиями было доказана необходимость ослабления закона исключенного третьего и двойственного ему закона непротиворечивости. Эти законы считались незыблемыми в классической теории множеств. Но история показывает, что для открытия и разработки новых теорий надо отбросить традиционный образ мышления. Фактически Л.Заде и сделал это в 1965 г., отвергнув главную аксиому классической теории.

В работе «Меры вероятности нечетких событий» (1968) [2] им введено понятие нечеткого события, иллюстрируемое на таких примерах как «сегодня теплый день», «величина Х примерно равна 5», «при двадцати бросаниях монетки выпало чуть больше решек, чем орлов». Эти выражения являются «нечеткими ввиду неточности смысла соответствующих слов» [2]. Кроме того, он дал обобщение математических выражений для среднего арифметического, вариации, энтропии на случай нечетких событий.

В работе «Принятие решений в нечеткой среде» (1970) [16], написанной совместно с Р.Беллманом, Л.Заде с соавтором рассматривают «процесс принятия решения, в котором «цели и/или ограничения имеют нечеткую природу (хотя, это необязательно относится к управляемой системе)». Затем они иллюстрируют новый подход на примерах многошаговых процессов принятия решений.

В статье «Отношения подобия и нечеткие порядки» (1971) [17] Л.Заде обсуждается отношение подобия как «нечеткое отношение, являющееся рефлексивным, симметричным и транзитивным», а также нечеткие линейные порядки, нечеткие предпорядки и слабые порядки.

Вплоть до начала 70-х годов Л.Заде и его последователи главным образом разрабатывали основы нечеткой математики. Этот период можно рассматривать как первый этап развития нечетких моделей (теорий), когда еще не появились их практические приложения.

В работе «Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений» (1973) [3] Л.Заде вводит понятие лингвистической переменной и композиционное правило вывода. Он подчеркивает, что этот новый подход «обеспечивает хоть и приблизительное, но все же эффективное средство описания поведения систем, которые являются слишком сложными и плохо определенными для того, чтобы применять к ним точные математические методы.  К числу их основных сфер применения относятся экономика, менеджмент, информационный поиск, искусственный интеллект, психология, лингвистика,  медицина, биология и другие области, в которых ведущую роль играет поведение живых компонентов системы». В этой же работе им введено понятия «вычисления смысла значений лингвистической переменной».

«Основы нового подхода…» безусловно является важнейшей вехой становления идей Л.Заде. Именно на базе этой работы Э.Мамдани и C.Ассилиан [18] в 1975 г. разработали первую лабораторную версию прикладной нечеткой системы – нечеткого регулятора и применили ее в промышленности. Так началась эра промышленного нечеткого управления.

В работе Л.Заде «Нечетко-алгоритмический подход к определению сложных или неточных понятий» (1976) [19] есть следующая фраза: «Высокие стандарты точности, которые преобладают в математике, физике, химии, инженерных науках и т.п., находятся в явном противоречии с неточностью наших знаний, которая типична для социологии, психологии, лингвистики, истории, философии, антропологии, литературы, искусства и других областей. В этой статье мы также находим определение «нечеткой истинности», а также выражение принадлежности через S-функции и П-функции.

Кроме того, в статье дано изложение отношений между классификационными и аттрибуционными вопросами, а также их аналитическое представление вместе с графической интерпретацией, демонстрирующей понятия «цилиндрического расширения» и «проекции» нечетких отношений. В ней указано явление, которое мы недавно исследовали и назвали «аномалией проекции» в методах нечеткой кластеризации [20].

В статье «Нечеткие множества как основа теории возможности» (1978) [4] Л.Заде утверждает следующее: «когда наш основной интерес состоит скорее в описании смысла информации, чем в определении ее меры (в смысле работ Шеннона и Винера по статистической теории информации), возможностный подход к анализу информации оказывается  более удобным и естественным по своей природе, чем вероятностный». В этой статье автор вводит понятия «распределения возможностей», «меры возможности», «качественного описания истинности», «вероятностной квалификации», и пр.

Серия знаменитых статей «Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений» I - III,  (1975-1976) [6,7],  открывается словами: «под лингвистической переменной понимается такая переменная, значениями которой являются слова и словосочетания на некотором естественном или искусственном языке». Далее утверждается, что «с учетом нашего преклонения перед всем точным, строгим и количественным и нашего пренебрежения ко всему нечеткому, нестрогому и качественному неудивительным кажется приход цифровых компьютеров… эти компьютеры оказались весьма эффективными при работе с механистическими, т.е. неживыми системами, поведение которых определяется законами механики, физики, химии, электромагнетизма. К сожалению, этого нельзя сказать о гуманистических системах…».

Профессор Л.Заде указывает,

 что «неэффективность компьютеров в работе с гуманистическими системами является выражением принципа несовместимости, согласно которому высокая точность несовместима с большой сложностью».

В этой серии статей приведен ряд примеров терм-множеств для лингвистических переменных Возраст, Внешний вид, Истина, Вероятность, и др. Также мы встречаемся с понятиями нечетких множеств типа n, n = 2,3… взаимодействующих и невзаимодействующих переменных, принципом обобщения, лингвистических значений истинности и нечеткой логикой, таблицами истинности и лингвистической аппроксимацией, лингвистическими  вероятностями и особенностями их вычислений,  композиционным правилом вывода, и т.д.

  В работе «Теория приближенных рассуждений» (1979) [5] подробно обсуждаются возможности представления нечетких правил вывода и ведения приближенных рассуждений на основе принципов проекции, логического следования семантической эквивалентности и т.д

В статье «Роль нечеткой логики в управлении неопределенностью в экспертных системах» (1983) [8], посвященной известному французскому специалисту в области нечетких систем, профессору Эли Санчезу, Л.Заде подчеркивает, что задача «управления неопределенностью есть жизненно важный вопрос  проектирования экспертных систем, поскольку большая часть информации в базе знаний типичной экспертной системы является неточной, неполной или не совсем надежной».

В этой статье им было показано влияние нечеткости на факты и правила в экспертной системе. Обсуждаются схемы вывода в нечеткой логике. Предложен также вариант вывода с квантифицируемыми высказываниями, например, Q1A's are B's, and Q2 (A and B)'s are C's ³Q1ÄQ2) A's are C's, etc.

Потом появилась статья «Силлогизмы в нечеткой логике и их применение к обыденным рассуждениям и рассуждениям с диспозициями» (1985) [22].

В ней Л.Заде рассматривает нечеткую логику как «обобщение многозначной логики, обеспечивающее более широкий круг средств для работы с неопределенностью и неточностью в задачах представления знаний, вывода и анализа решений. Представлены такие темы как «силлогизм пересечения/ произведения», «диспозиционный модус поненс». В этой статье они рассматриваются вместе с нечеткими квантификаторами, также описываются свойства композициональности, робастности, обыденности рассуждений Даны примеры нечетких силлогизмов и рассуждений с диспозициями, в частности, «силлогизм обращения большой посылки», «силлогизм присоединения к антецеденту», «силлогизм присоединения к консеквенту» и др.

Эти и другие близкие вопросы освещены также в статье «Вычислительный подход к нечетким квантификаторам в естественных языках» (1983) [21]. К сожалению, публикации в этой области крайне немногочисленны, см. например, [22].

После работы [21] Л.Заде предложил «Теорию рассуждений здравого смысла» [23]. На его взгляд «обычные методы представления знаний, основанные на исчислении предикатов и других близких методах, не очень хорошо подходят для представления «знаний здравого смысла», поскольку предикаты  в предложениях, описывающих такие повседневные знания, чаще всего не имеют четких денотатов». Например, предложение «Большинство французов невысокие»  не может рассматриваться как правильно построенная формула исчисления предикатов, потому что множества, образующие денотаты для предиката высокий и квантификатора большинство, в соответствующих  универсумах рассуждений, являются скорее нечеткими, чем обычными. Затем проблемы представления смысла обсуждаются в контексте «композиции гибких ограничений» совместно с правилами модификации, композиции, квантификации, а также «представления диспозиций» и «вывода с диспозициями».

В серии работ «Нечеткая логика=Вычисления со словами» (1996) [10], «О теории нечеткой информационной грануляции и ее центральном месте в человеческих рассуждениях и нечеткой логике» (1997) и «От цифровых вычислений к вычислениям со словами  – от манипуляции с измерениями к манипуляции с чувственными образами» (2001) Л.Заде пишет: «Основной вклад нечеткой логики заключается в построении методологии для вычислений со словами. Для этого пока нет никакой другой методологии». Затем он констатирует: «вычисления в обычном смысле включают манипуляции числами и символами. Напротив, люди в основном пользуются словами при счете и рассуждениях, приходя к словесным заключениям из посылок, выраженных средствами натурального языка или выступающих в форме психических (перцептивных) образов».

Далее Л.Заде отмечает исторические корни предлагаемого им подхода: «понятие вычислений со словами восходит к ряду моих давних статей, начиная с «Основ нового подхода…» (1973), где были впервые введены понятия лингвистической переменной и гранулирования информации. Понятия нечеткого ограничения и распространения нечетких ограничений были предложены в «Исчислении нечетких ограничений» (1975) [24], а более детально развиты в cтатье «Теория приближенных рассуждений» (1979) [5].

В этих работах были построены схемы, показывающие, как исходя из общего понятия гранулирования, можно прийти к информационным гранулам и гранулам действий. Следует различать четкие и нечеткие гранулы. Примером четкой гранулы служит «время® годы® месяцы ® недели ® дни®…», а нечеткой «возраст ® очень молодой + молодой + средний + старый + очень старый».

Также показаны примеры ментальных (гуманистических) и физических гранул.

Ментальная грануляция: «тело ® голова + затылок + левая рука + грудь + правая рука + …» и физическая грануляция: «речь», «ходьба», «еда».

Обобщенное ограничение, введенное в предыдущих работах, было переформулировано в виде  «X isr R», где isr (произносится «езар») –переменная связка, определяющая способ, которым R ограничивает переменную X. Роль ограничения R по отношению к переменной X определяется значением дискретной переменной r, которая может принимать значения

e:    равно (сокращенно = )

d:    дизъюнктивное

c:    конъюнктивное

p:    вероятностное

l:    значение вероятности

u:    обычно

rs:   случайное множество

rsf:  случайное нечеткое множество

fg:   нечеткий граф

ps: приближенное множество    (множество Павлака).

Далее изложены вопросы распространения нечетких ограничений и правила вывода в нечеткой логике: конъюнктивные правила 1 и 2, дизъюнктивные правила 1 и 2, проективное правило, а также ряд производных правил: композиционные правила, принцип обобщения (правило отображения), правило обратного отображения, обобщенное правило модус поненс, расширенный принцип обобщения, правило силлогизма, правило модификации ограничений и пр.

Вновь приводится пример с шарами в ящике. «Ящик служит ограничением для десяти шаров различных размеров: некоторые из них большие, а другие маленькие. Какова вероятность того, что шар, выбранный наудачу из ящика, не будет ни большим, ни маленьким?» «Для того, чтобы ответить на этот вопрос, надо быть способным определять смысл лингвистических значений «большой», «малый», «несколько больших шаров»,  «немного малых шаров» и «ни большой, но и не малый». Это – проблема семантики, которая выходит за рамки теории вероятности, нейрокомпьютинга и других известных методологий.

 

Заключение

 

В итоге, Л.Заде делает следующее заключение: «В наших поисках оснований для машинного интеллекта (с высоким коэффициентом интеллектуальности MIQ) мы пришли к лучшему пониманию фундаментального значения одной из самых замечательных человеческих способностей. Это – способность выполнять широкий круг физических и психических задач без каких-либо измерений или вычислений. В основе этой способности лежит важнейшее свойство человеческого мозга, связанное с манипулированием сенсорно-перцептивными образами: ощущениями расстояния, размера, веса, силы, цвета, сходства, истинности и других  физических и психических характеристик.  Основное отличие между перцептивными оценками и измерениями заключается прежде всего в том, что измерения являются четкими, тогда как оценки – нечеткими». «Люди пользуются словами для описания своих  перцептивных образов, и в этом плане, манипулирование перцептивными образами сводится к вычислению со словами… В ближайшие годы, вычисления со словами и перцептивными оценками по-видимому станут одним из важнейших направлений в науке и технике».

 

Литература

 

1. Zadeh L.A.   Fuzzy Sets// Information and Control.  –1965. – Vol.8. – P. 338-353. 

2. Zadeh L.A. Probability Measures of Fuzzy Events// Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 1968. – Vol.10. – P. 421-427.

3. Zadeh L.A. Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes//  IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. –1973. – Vol. SMC-3. – P. 28-44.

4. Zadeh L.A.  Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility// Fuzzy Sets and Systems. – 1978. – Vol.1. – P. 3-28.

5. Zadeh L.A. A Theory of Approximate Reasoning//  Machine Intelligence/ Ed. by J. Hayes, D. Michie and L.I. Mikulich.– New York: Halstead Press, 1979.– P.149-194.

6. Zadeh L.A.  The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning. Parts 1 and 2// Information Sciences. –1975. –Vol.8. – P.199-249, 301-357.

7. Zadeh L.A.  The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning. Part 3// Information Sciences. –1976. –Vol.9. – P.43-80.

8. Zadeh L.A.  The Role of Fuzzy Logic in the Management of Uncertainty in Expert Systems// Fuzzy Sets and Systems. – 1983. – Vol.11. – P. 199-227.

9.  Zadeh L.A.  Syllogistic Reasoning in Fuzzy Logic and its Application to Usuality and Reasoning with Dispositions // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. – 1985. – Vol.15. – P.754-763.

10.  Zadeh L.A.  Fuzzy Logic = Computing With Words// IEEE Transactions on Fuzzy Systems. – 1996. –Vol. 4. –P. 103-111. 

11. Zadeh L.A.  Toward a Theory of Fuzzy Information Granulation and its Centrality in Human Reasoning and Fuzzy Logic// Fuzzy Sets and Systems. – 1997. – Vol. 90. – P.111-127.

12. Zadeh L.A. From Computing with Numbers to Computing with Words – From Manipulation of Measurements to Manipulation of Perceptions// Computing With Words/ Ed. by P.P. Wang. – New York: Wiley and Sons, 2001. – P. 35-68.

13. Hodge R.  Key Terms in Fuzzy Logic: Deep Roots and New Understandings// Fuzzy Sets and Systems. – 2001 (Submitted).

14. Türkşen I.B.  Interval-Valued Fuzzy Sets Based on Normal Forms// Fuzzy Sets and Systems.–1986.–Vol. 20. P.191-210.

15. Türkşen I.B.  Sources, Measurements and Models of Type 2 Fuzziness in the New Millennium// Fuzziness in the New Millennium/ Ed. by V. Dimitrov. – Berlin: Springer Verlag, 2001 (in print).

16. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision-Making in a Fuzzy Environment// Management Science. – 1970. – Vol.17, №4. – P.141-164.

17. Zadeh L.A. Similarity Relations and Fuzzy Orderings // Information Sciences. – 1971. – Vol.3. – P.177-200.

18. Mamdani E.H., Assilian S.  An Experiment in Linguistic Synthesis with a Fuzzy Logic Controller// International Journal of Man-Machine Studies. –1975. –Vol. 7, №1. – P.1-13.

19. Zadeh L.A.  A Fuzzy-Algorithmic Approach to the Definition of Complex or Imprecise Concepts// International Journal of Man-Machine Studies. – 1976.–Vol. 8. – P.249-291.

20. Uncu O., Türkşen I.B. A Novel Fuzzy System Modeling Approach: Multidimensional Structure Identification and Inference// Proceedings of 10th IEEE International Conference on Fuzzy Systems (December 2-5, 2001, Melbourne, Australia) (Submitted).

21. Zadeh L.A. A Computational Approach to Fuzzy Quantifiers in Natural Language// Computers and Mathematics with Applications.–1983.–Vol.9.–P.149-184

22. Narazaki H., Türkşen I.B.  An Integrated Approach for Syllogistic Reasoning and Knowledge Consistency Level Maintenance// IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. – 1994. – Vol.24, №4.–P.548-563.

23. Zadeh L.A.  A Theory of Commonsense Knowledge// Aspects of Vagueness/ Ed. by H.J. Skala, S. Termini, and E. Trillas. – Dodrecht: D. Reidel, 1984. – P.257-296.

24. Zadeh L.A.  Calculus of Fuzzy Restrictions// Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Progresses/ Ed. by  L.A. Zadeh, K.S Fu, K. Tanaka and M. Shimura.– New York: Academic Press, 1975.–P.1-39.